Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
A.
Kaidah Pencacahan
1.
Prinsip Dasar Membilang
Jika suatu
operasi terdiri dari 2 tahap, tahap pertama dapat dilakukan dengan m cara yang
berbeda dan tahap kedua dapat dilakukan dengan n cara yang berbeda, maka
keseluruhan operasi dapat dilakukan dengan m x n cara. Cara pencacahan seperti
ini disebut kaidah perkalian.
Contoh 1:
Berikut ini
jalan yang dapat dilalui pengendara motor dari kota A ke kota C melelui kota B. Ada berapa cara yang dapat dilakukan dari A ke C ?
Jawab:
Dari A ke B dapat dilakukan dengan 4 cara.
Dari B ke C dapat dilakukan dengan 3 cara.
Jadi, dari A ke C dapat dilakukan dengan = 4 x
3 = 12 cara, yaitu:
a.
jalan 1,5 ; jalan 1,6 ; jalan 1,7
b.
jalan 2,5 ; jalan 2,6 ; jalan 2,7
c.
jalan 3,5 ; jalan 3,6 ; jalan 3,7
d.
jalan 4,5 ; jalan 4,6 ; jalan 4,7
Contoh 2 :
Ada berapa cara yang dapat dilakukan dari A ke
C ?
Jawab:
2.
Faktorial
Hasil kali bilangan bulat positif (bilangan asli) berturut-turut dari n sampai 1 disebut n faktorial, ditulis n!
Contoh 3 :
B.
Permutasi dan Kombinasi
1.
Permutasi
Permutasi adalah susunan objek-objek dengan
memperlihatkan urutan tertentu.
a.
Permutasi n objek berbeda yang setiap kali diambil
seluruhnya nPn
Contoh 5 :
Diketahui 3 abjad pertama yaitu A, B dan C. Berapa banyak susunan yang
mungkin dari 3 huruf yang berbeda itu ?
Jawab:
Contoh 6 :
Diketahui 4 siswa : Ary, Ani, Ali dan Asih
akan ditempatkan pada 4 buah kursi. Ada berapa cara untuk menempatkan siswa itu
pada kursi yang berbeda ?
Jawab:
Kursi I dapat diisi oleh salah satu siswa
dalam 4 cara.
Kursi II dapat diisi oleh salah satu siswa
dalam 3 cara.
Kursi III dapat diisi oleh salah satu siswa
dalam 2 cara.
Kursi IV dapat diisi oleh salah satu siswa
dalam 1 cara.
Sehingga dengan prinsip dasar probabilitas,
keempat kursi dapat ditempati oleh keempat siswa dengan : 4 x 3 x 2 x 1 = 24 cara.
b.
Permutasi 
objek berbeda yang setiap kali
diambil sebagian nPr
Banyak permutasi objek yang diambil 
objek 
dinotasikan nPr atau P(n,
r) atau (dibaca Permutasi dari ) adalah :
Contoh 7 :
Berapa banyak permutasi yang terdiri atas 2
huruf yang berbeda dari 4 huruf : A, I, U, E.
Jawab:
c.
Permutasi objek yang tidak semua berbeda
Banyaknya cara menyusun n unsur dalam suatu baris, jika ada p
unsur yang sama dari satu jenis, q unsur dari jenis lain, dan seterusnya
adalah :
Contoh 8 :
Berapa carakah 5 huruf dari kata CUACA dapat
disusun dalam suatu baris !
Jawab:
Unsur-unsur yang sama adalah huruf C ada 2 dan huruf A ada 2.
Jadi susunan yang mungkin ada 30 buah.
d.
Permutasi Siklis
Banyaknya cara menyusun n objek berlainan dalam suatu lingkaran, dengan
memandang susunan yang searah putaran jarum jam dan berlawanan arah putaran
jarum jam adalah :
Contoh 9 :
Terdapat berapa carakah empat anak A, B, C, D
yang duduk melingkar dapat disusun dalam lingkaran?
Jawab:
Cara I
Ambil seorang anak untuk diletakkan pada posisi yang tetap, kemudian
menyusun tiga anak yang lain dalam tempat yang berbeda, maka cara ini dapat
dilakukan dalam cara.
Cara II
Perhatikan gambar !
Jika keempat anak itu diletakkan pada posisi 1, 2, 3 dan 4 bergantian
searah putaran jarum jam dalam sebuah lingkaran , maka mereka tetap membentuk
susunan yang sama. Karena itu, penyusunannya harus menempatkan seorang anak
kepada posisi yang tetap dan menggerak-gerakkan posisi tiga anak yang lain.
Menyusunnya seperti berikut :
Jadi banyaknya susunan melingkar adalah (4 – 1)! = 3!
= 6 cara.
2.
Kombinasi
Kombinasi adalah susunan dari unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan
urutan unsur-unsur itu. Kombinasi dari n objek yang diambil r
objek dinotasikan nCr atau C(n, r) atau adalah :
Melalui contoh berikut ini, dapat dibedakan
antara permutasi dan kombinasi.
Pengambilan 3 huruf dari 4 huruf yang ada (A,
B, C, D).
Kombinasi (4C3) : ABC, ABD, ACD, BCD
Permutasi
(4P3) : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
ACD,
ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Contoh 10 :
Ada berapa cara dapat dilakukan jika 5 pemain bola basket diambil dari tim
yang terdiri 12 pemain untuk berpartisipasi dalam pertandingan persahabatan ?
Jawab:
Jadi, banyaknya cara memilih 5 pemain dari 12
pemain ada 792 cara.
Contoh 11 :
Ada berapa cara 2 bola merah, 3 bola biru, dan 4 bola putih dapat dipilih
dari suatu kotak yang berisi 4 bola merah, 6 bola biru, dan 5 bola putih ?
Jawab:
2 bola merah dapat dipilih dari 4 bola dalam
4C2 cara.
3 bola biru dapat dipilih dari 6 bola dalam
6C3 cara.
4 bola putih dapat dipilih dari 5 bola dalam
5C4 cara.
Dengan prinsip perkalian, banyaknya cara
memilih bola yang diminta :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar